Freeze 殿堂

我们知道当我们要选一些人来做某事时,抽签是个好办法,但请注意,这要满足一定的条件,就是一个人抽完后不能看,要等全部人都抽完了才能一起打开看.否则,概率是不同的,结果是不公平的,有人还不相信,那么下面我就来证明看看.

我们先来看都抽完后再看的情况,假如从9个人里挑4个(因为我们今天就是这样抽的).第一个人抽到的概率是4/9,第二人抽到的概率要分两种情况,一种是第一个人如果抽到的话,那么他抽到的概率就是(4/9 )*(3/ =1/6,第二种情况是没抽到的话,他抽到的概率是(5/9)*(4/ =5/18,两者相加仍为4/9,依此类推,每个人抽到的概率是相同的,都是4/9.而且用排列组合的方法也可以证明,高二的数学课本里已经给出证明了,不再赘述.

我们再来看一个人抽完后就打开看的情况.假如还是上面的条件,我们又假设分别是第3,5,6,7个人"中奖"了.我们有种很简单的思路来想,就是第一个人抽完后,他的概率是4/9,他打开看了,没有,那么我们就知道现在剩下4个有奖,4个没奖,那么第二人抽的概率是4/8了,显然已经不一样了,第二个人也没中,那第三个人更好了,因为现在剩4个有奖,3个没奖,他抽中的概率增加到4/7了,依此类推,每个人抽时概率不都一样.好,我现在知道你要怎么反驳我了.你想说虽然第二个人的概率变了,但他概率变的概率是有的,也就是说这取决于第一个人抽到了什么,要是第一个人抽到中奖,那他抽到的概率就是3/8了,所以你说这样下来概率还都是一样的了.不!不是这样的,你如果这样想的话还是和第一种情况一样了.我们从概率本身来说,概率是由于我们不知道某个事件会不会发生而产生的一种预测,这里有两个特殊的值,0和1,0就是绝对不会发生,1就是肯定发生,如果一个概率是这两个值,那么我们可以说这已经变成已知的了.再回到前面,你说因为第一个人抽到抽不到是不一定的,所以第二个人抽到的概率也会随着变化,但你应该想到,因为第一个人已经打开了,是中奖还是不中奖我们都已经知道了,这已经确定了,那第二个人抽到的概率还会变吗?我们可以再按我前面说的第一种情况来列下第二个人抽到的概率.第一个人现在是抽到的的概率为0,抽不到的概率为1(因为他已经打开了,所以不再是5/9和4/9了),所以第二个抽到的概率为0*(3/ +1*(4/ =4/8,看吧,应该不一样了.我再补充一下,因为他已经确定了(请注意这个"确定"吧,我已经强调很多次了)是中奖还是不中,所以只能是0或1了,最后的结果也如你看到的,不都一样.

我们还可以看到,我假定是第3,5,6,7个人抽到了,那么第8第9个人根本就不用抽了,因为我们已经完全知道他们是不可能抽到了,如果再抱着可能会抽到的想法的话那只能是傻子...

我们由此可以知道,在商场那种抽奖活动中(一般他们都是当场抽当场打开看的),当你看到有好几个没中时,就是赶快去抽,这时你中奖的概率已经提高了;而当一些不好的事时,比如要行刑,你看到有很多人都抽中了再去抽,那样你死的概率会小一点,不过要是前面的都抽不中,那只能怪你运气差了(再强调一遍,前面人怎么抽到的与你没关系,抽到就是1,抽不到就是0了,这是很确定的事了)...

    今天四处闲逛,发现有位大牛的blog里记录了这样一道题(但是我没记住地址,如果有侵权的地方,请及时通知我,我会马上改掉).不过,为了更好叙述,我先补充一道题.
    假如你只有一个天平,没砝码,现在有12个小球,其中有一个略轻于其他11个,你最少称几次可以确定这个小球?
    称量策略很简单,是我们熟悉的二分法.先将12个小球平均分成2组,一组6个进行称量,取出较轻的一组,然后再将这6个小球平均分成2组,一组3个进行称量,再取出较轻的一组,任选其中两个进行称量,轻的那个便是要找的小球,如果天平平衡,则就是剩下那个没有称量的.(实际上按这样称法可以从27个小球中找到较轻的小球)
    那位牛的blog中记录的题只改变了一个条件,把"有一个略轻于其他11个"改为"有一个小球不同于其他11个小球",也就是不知道这个小球是轻还是重了.这样,你不仅要找到这个小球,还要确定它较其他小球是轻了还是重了.
    如果按刚才的方法,当天平不平衡时,我们无法确定那个小球在左盘还是在右盘.所以这里就要换种策略了.我忘了说,这题的答案仍是称三次.

请仔细思考再向下看....
我相信能在第一次解出这题的人很少.那么,让我们看了答案再来仔细研究一下.(这似乎不是原题的答案,但应该也对的)
把12个小球分别编为1-12号,三次称量如下.
1 4 5 9-----2 3 6 8
1 3 5 8---- 2 4 7 11
1 2 7 10---- 3 4 6 9
答案用了一种一一对应的方法,即一个数字对应一种序列(就像第一次称量天平左偏,第二次右偏,第三次不偏,则可以确定是8号小球,这就是8唯一对应的序列),这似乎与进制有点联系,但一次称量天平的情况是三种而不是两种,而且我们要从三次称量情况来判断,那么我们先把三次称量天平情况的所有组合列出来.(这里用左,右,平表示,假设左,右分别代表天平向左和向右偏)
左左左(右右右) 左左平(右右平) 左右平(右左平)
左左右(右右左) 左平左(右平右) 左平右(右平左)
左右左(右左右) 平左左(平右右) 平左右(平右左)
右左左(左右右) 左平平(右平平)
                            平左平(平右平)
                            平平左(平平右)
平平平
至于怎么列这个你可以随便按一个顺序来列,我这样是按每个序列中"左"的个数来列的,括号里是和它相反的序列,有点丑了...
总共有3^3=27种,这意味着我们可以从27个小球里确定那个小球吗?如果是刚才那道题可以,但你会发现,括号里的序列是没意义的,比如"左左左"和"右右右"这一组,如果它们分别对应1,2号小球,且1号每次称量都放左盘,2号每次都放右盘,当三次称量天平都向左偏,你还是无法确定到底是1重了还是2轻了,其他情况类同.所以我们只能舍弃掉括号里的了,现在只剩下14组了,
左左左 左左平 左右平
左左右 左平左 左平右
左右左 平左左 平左右
右左左 左平平
              平左平
              平平左
平平平
也就是说我们可以确定14个小球吗?还不是,因为这还要满足一个条件,就是左右天平总的小球个数要一样.关于这一点,我会在后面作进一步的论述.
    现在,我们可以按题中要求的把1-12分别标在14组中,让它们一一对应,当然会空出两组.
左左左 1 左左平 5 左右平 8
左左右 2 左平左 6 左平右 9
左右左 3 平左左   平左右 7
右左左 4 左平平
                 平左平 11
                 平平左 10
平平平 12
    标完后我们称量的策略是,假如1对应的是"左左左",那么三次称量中1都在左盘(由上面可知,放右盘效果一样,这里我们以左为优先考虑),这样无论三次称量中,天平都向左还是向右偏,都可以唯一确定是1号小球.但你会发现,现在"左"的个数明显多于"右"的个数,这里我们可以适当调整,如,6对应"左平左",我们也可以把它当成"右平右",这效果是一样的.而"左右左"要调整则对应变成"右左右".我们现在再来说说这个天平左右总的球的个数的问题.由于我们的策略是当"左"或"右"才放球,"平"则不放球,所以我们来算算我们一共放了多少个球在三个天平上(这时你可以这样想这个问题,同时有三架完全相同的天平,每个号码的个数无限多,但一个天平不能同时放相同号码的球,这是显而易见的),再看答案,我们可以算出总共要24个小球,所以我们在上面将12个号码对应于每个序列后,也应保证总的小球个数是24,也就是说"左"或"右"的个数之和是24.我们会想为什么不能是26个或22个呢?如果是那,虽然将12个号码一一对应后可以达到这些个数,但你最终无法让每个天平两边的小球个数一样多(就是会出现一边5个,另一边4个这种根本就不平衡的情况).而可能的情况是18个球或30个球这样6的整倍数,但显然这样无法让12个号码一一对应序列了.
    对于这道题,我已经叙述了它的解法,但我无法描述它的思维过程,因为我是先看了答案的,这个很遗憾.但这道题也为我们解题提供了一种思路.
    两道近似的题,解法可能大相径庭.
PS:据说这是某个大企业的面试题.

今天看到一件很诡异的事,其实只是数学的一个把戏罢了,让我们一起来揭穿这个诡异事件.

故事是这样的,一个魔术师对他的地毯商朋友说他可以把一块13*13的地毯变成8*21的大小,显然,后者比前面少1平方厘米(为了方便,我们这暂定面积单位是平方厘米).效果如图1,2.

怎么样,看到了吧?13*13 = 8*21吗?显然不是,那是怎么回事呢?那1平方厘米到底是哪来的呢?我们当然知道不可能凭空多出1平方厘米,我也没必要在这上面做手脚.在我讲出答案前呢,请先自己想一想,画一画,算一算.

这中间都没东西,你不用看了...

好吧,你要非住下看,那我给你个提示:用简单的解析几何知识就能揭穿把戏.

我想你已经知道答案了.不知道也没关系,毕竟是我们的眼睛背叛了我们.模型图如图3.

首先,我们对图中那两个5厘米的接口没有怀疑,只要不是测量错误它们一定是正好可以对接上的,唯一没有验证的是那条对角线,或者说是BFD(或BGD)三点在同一条直线上吗?根据斜率公式可得k(BF)=tanα=5/13,k(DF)=tanβ=3/8,而两斜率的差值是1/104,它们的角度差tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=1/119≈0.481度(约合28'53"),连1度都不到,这么小的差别我们怎么能看出来,又因为图形小,所以这个角无法使两条边开得更大.

也许这还不足以使你信服,那么下面我们用解析几何来算出那消失的1平方厘米.(限于演算较繁也较难输入法,所以我只写重要的结果.PS:计算能力不好的可以跳过下面一段).

方法自然很多,通过上面的证明我们可以知道DFBG是平行四边形,可得BE=sqrt(73),BF=sqrt(194),EF=sqrt(29),知道三边,可以求三角形BEF的面积了,你可以用海伦薄雾浓云愁永昼公式或者用上面的tan值,这里我们用那个古老的1/2*BF*BE*sin∠EBF来虐下自己的算术能力.因为四边形的面积就是三角形面积的二倍,所以有S(DFBG)=BF*BE*sin∠EBF,cos∠EBF=(BE^2+BF^2-EF^2)/(2*BE*BF)=119/sqrt(73*194)(这是个相当痛苦的过程,能不用计算器尽量不要用),sin∠EBF=sqrt(1-cos^2∠EBF)=1/sqrt(73*194),多么渺小的一个角呀(和上面算的arctan1/119完全吻合,激动人心的一刻来临了,BF*BE*sin∠EBF=sqrt(73*194)*1/sqrt(73*194)=1!,这就是那神秘的1平方厘米啊.通过不断地拉伸使它变得如此狭长,以致从我们眼前溜过我们都没有察觉.

我们再来看下题中的数字,你若对那个熟悉的话...对,是斐波那契数列,这就是其中一个我们熟悉的公式:F(n)^2=F(n-1)*F(n+1)+(-1)^n,(n>=1)(还有一点要说明的是这里的斐波那契数列是从F(0)=F(1)=1开始的).推及这类图,设F(n)为边长,当n为偶数时会少1个面积单位,当n为奇数时会重叠1个面积单位,这就是这种图形的神秘之处,真正揭穿了原来也没有什么.两件看似无关的事物却发生了相交,数学真是个奇妙的东西.

........
再次搬家,没办法啊,关键是还要一点一点地转东西,这个还是以后再说吧,现在主要是写点有用的东西....